ഒമ്പത്,പത്ത്,പതിനൊന്ന്,...

കൃഷ്ണൻ മാഷ് പലപ്പോഴും പറയാറുള്ള ഒരു കഥയുണ്ട്,ഗണിതം പഠിക്കാനെത്തിയ കുട്ടിയോട് സൈൻ എന്താണെന്ന ചോദ്യത്തിന് കിട്ടിയ മറുപടി. "പത്താം ക്ലാസ്സിൽ അതൊരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ എതിർ വശത്തെ കർണ്ണംകൊണ്ട് ഹരിച്ചതായിരുന്നു, ഒരു വർഷം കൊണ്ട് ത്രികോണം വിട്ട് വട്ടത്തിൽ കയറി.ഇപ്പോൾ അതൊരു അനന്ത ശ്രേണിയും.എന്നാൽ ഫിസിക്സ് ക്ലാസ്സിലെത്തുമ്പോൾ ഇതൊന്നുമല്ല, അവിടെ സൈൻ ഒരു wave ആണ്”.

ഇതെല്ലാം ഒന്നുതന്നെയെന്നോ,ഒന്നിന്റെ തുടർച്ചയാണെന്നോ,ഒന്നിന്റെ വകഭേതമെന്നോ കുട്ടിയോട് പറയാൻ ആരുമില്ലായിരുന്നു.പതിനൊന്നാം ക്ലാസ്സിലെത്തുമ്പോള്‍ ഇത്തരം തുടര്‍ച്ചയില്ലായ്മ അനുഭവപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത ഏറെയാണ്.കുട്ടികൾ പത്തിൽ നിന്ന് പതിനൊന്നിലേക്ക് കയറിയവരും അധ്യാപകര്‍ പന്ത്രണ്ടിൽ നിന്ന് താഴേക്കറങ്ങിയവരുമാണല്ലോ.

ഇത്തരം ആശയക്കുഴപ്പം അല്പമെങ്കിലും കുറയ്ക്കാൻ കുട്ടിയോടൊപ്പം കുറച്ചു ദൂരമെങ്കിലും സഞ്ചരിക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും.പതിനൊന്നാം തരത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നതും പിന്നീട് ആവർത്തിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നതുമായ limit എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് കുട്ടിയോടൊപ്പം എങ്ങിനെ നടന്നുകയറാം എന്ന ഒരാലോചനയാണ് ഇവിടെ കുറിക്കുന്നത്.

limit എന്ന പേര് പരിചയിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും അതിന്റെ സത്ത ഒമ്പത്, പത്ത് ക്ലാസ്സുകളിലായി കുട്ടി കണ്ടതിന്റെ

ഓർമ്മപ്പെടുത്തലാകാം ആദ്യം. സത്തയില്ലാത്ത നിർവചനങ്ങള്‍ മാത്രമായി പലതും മാറാറുണ്ടല്ലോ, അത്തരം സബ്രദായങ്ങളില്‍നിന്ന് തിരിച്ചു വരാനുള്ള ഒരു ശ്രമവും കൂടിയാകാം.

ക്ലാസ്സ് 9

ഭിന്നക സംഖ്യകള്‍

$\frac{1}{3}$ = 0.333...  എന്നെഴുതുന്നതില്‍ വലതു വശത്തുള്ള 0.333... എന്നതിന്റെ അര്‍ഥം പറയുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

0.3 ,0.33, 0.333, ഇവയെല്ലാം തന്നെ കുട്ടി മുമ്പ് പരിചയിച്ചിട്ടുള്ളതാണ്. 0.3 = $\frac{3}{10}$ , 0.33 = $\frac{33}{100}$ എന്നിങ്ങനെയെല്ലാം ഭിന്നസംഖ്യാ രൂപത്തില്‍ എഴുതാനും കഴിയും. എന്നാല്‍ ഇവയൊന്നും $\frac{1}{3}$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യക്ക് തുല്യമാകുന്നില്ല. ഇവയ്ക്ക് ഓരോന്നിനും $\frac{1}{3}$ ല്‍ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം നോക്കിയാല്‍

$\frac{1}{3}-\frac{3}{10}= \frac{10-9}{30}=\frac{1}{30}$

$\frac{1}{3}-\frac{33}{100}= \frac{100-99}{300}=\frac{1}{300}$

$\frac{1}{3}-\frac{333}{1000}= \frac{1000-999}{3000}=\frac{1}{3000}$

അപ്പോള്‍ 0.3, 0.33, 0.333, എന്ന ക്രമത്തില്‍ മുന്നോട്ടു പോയാല്‍ $\frac{1}{3}$ ലേക്കുള്ള അകലം കുറഞ്ഞു കുറഞ്ഞു വരുന്നതായി കാണാം - കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ ഓരോ തവണയും അകലം പത്തിലൊന്നായി കുറയുന്നു. ഇത്തരത്തില്‍ മുന്നോട്ടു പോയിപ്പോയി $\frac{1}{3}$ മായുള്ള അകലം എത്ര വേണമെങ്കിലും കുറയ്കാം എന്ന് പറയുമ്പോള്‍ ' എത്ര വേണമെങ്കിലും ' എന്നതിന് ഒരു ഊന്നല്‍ കൊടുത്തു കൊള്ളൂ.

0.3 , 0.33 , 0.333 , ... എന്ന ശ്രേണിയുടെ limit ആണ് $\frac{1}{3}$  എന്നാണ് ഇവിടെ പറയാതെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്.

ഇത്തരം ചര്‍ചകള്‍കൊണ്ടുള്ള ഗുണം രണ്ടു രീതിയിലാകാം - ഒമ്പതാം തരത്തില്‍ ഇതിനെ ഈ രീതിയില്‍ത്തന്നെ മനസ്സിലാക്കിയ കുട്ടിക്ക് ഒരോര്‍മ്മപുതുക്കല്‍. ഇങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാല്‍ സാധിച്ചിട്ടില്ലാത്ത കുട്ടിക്ക് ഒരു തിരിച്ചറിവ്.

ക്ലാസ്സ് 9

അഭിന്നകങ്ങള്‍

1.4 , 1.41 , 1.414 , ... എന്ന ശ്രേണി $\sqrt{2}$ നോട് അടുക്കുന്നു എന്ന് വളരെ നിസ്സാരമായി പലപ്പോഴും പറയാറുണ്ട്. അത്രയും പറഞ്ഞാല്‍ മതിയോ? 0.3, 0.33 , 0.333 , ... എന്നത്  $\frac{1}{3}$  നോട് അടുക്കുന്നു എന്ന് പറയുന്നത്ര ലാഘവത്തോടെ ഇത് പറയാന്‍ കഴിയുമോ ? എങ്കില്‍ 1.4 , 1.41 , 1.414 , ... എന്നതിലെ അടുത്ത സംഖ്യ ഏതാണ് ? മുന്നോട്ടു പോകുംതോറും ഈ സംഖ്യകള്‍ക്ക്  $\sqrt{2}$  മായുള്ള അകലം കുറയുന്നു എന്ന് എങ്ങനെ പറയാം? ..... ഉം 1.4 ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമെന്താണ് ? കുറച്ചുനോക്കണമെങ്കില്‍  $\sqrt{2}$ എന്താണെന്ന് അറിയണ്ടേ ?

$\sqrt{2}$ എന്താണെന്നും എന്തിനാണെന്നും ഈ അധ്യായത്തില്‍ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്.

1.4 , 1.41 , 1.414 , .... ഇവ $\sqrt{2}$ നോട് അടുത്തടുത്തു വരുന്നു എന്നതിനു പകരം , ഇവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ 2 നോട് അടുത്തു വരുന്നു എന്നാണ് പറയുന്നത്. ശ്രദ്ധേയമായ മറ്റൊന്നു കൂടിയുണ്ട്. 1.4 , 1.41 , 1.414 , .... ഇവയെല്ലാം ഭിന്നകങ്ങളാണ്, $\sqrt{2}$ അഭിന്നകവും. ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ limit ആയി അഭിന്നകം ലഭിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള ഗുണപരമായ മാറ്റം (qualitative change) നമ്മള്‍ പലപ്പോഴും സമര്‍ഥമായി പ്രയോജനപ്പെടുത്താറുമുണ്ട്.

 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ എന്ന് പറയുന്നതിന് മുമ്പായി  $\sqrt{6}$ എന്നതിന്റെ അര്‍ഥം പറയേണ്ടതുണ്ട്. എണ്ണല്‍ സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനത്തെ ആവര്‍ത്തന സങ്കലനമായും ഭിന്ന സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടുള്ള ഗുണനത്തെ ഭാഗമായും മടങ്ങായുമൊക്കെ ചെറിയ ക്ലാസ്സുകളില്‍ വ്യാഖ്യാനിച്ചിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയെ മറ്റൊരു ഭിന്നക സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ അര്‍ഥം അറിയുന്ന കുട്ടിയോടാണ്     $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$  എന്നാലെന്ത് എന്ന് പറയേണ്ടത്. അതിങ്ങനെയാണ്

1.4 , 1.41 , 1.414 , .... ഇവ $\sqrt{2}$  നോടും

1.7 , 1.73 , 1.732 , ... ഇവ $\sqrt{3}$ നോടും അടുത്തടുത്തു വരുന്നു.

അപ്പോള്‍

1.4 x 1.7 = 2.3

1.41 x 1.73 = 2.43

1.414 x 1.732 = 2.449

......................................

......................................
ഇവ ഏത് സംഖ്യയോടാണോ അടുത്തു വരുന്നത് , ആ സംഖ്യയെ √6 എന്ന് വിളിക്കാം.

2.3 , 2.43 , 2.449 , ... ഇവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ പരിഗണിച്ചാല്‍

5.2 , 5.90 , 5.997 , ....

ഈ ശ്രേണി 6 നോടാണ് അടുത്തു വരുന്നത്. അതിനാല്‍ 2.3 , 2.43 , 2.449 , ... എന്ന ശ്രേണി √6 നോട് അടുക്കുന്നു എന്ന് പറയാം.

എല്ലാംകൂടി കൂട്ടിവായിച്ചാല്‍

$\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$ = $\sqrt{6}$

ഇതിനെജ്യാമിതീയമായി ഇങ്ങനെ കാണാം

ക്ലാസ്സ് 9

വൃത്തത്തിന്റെ അളവുകള്‍

വൃത്തത്തിന്റ ചുറ്റളവ് അളന്നെടുക്കാം, എന്നാല്‍ പരപ്പളവോ (area)? ഏത് ബഹുഭുജത്തിന്റേയും പരപ്പളവ് കണക്കാക്കിയെടുക്കാം, ബഹുഭുജത്തെ ത്രികോണങ്ങളാക്കിയാല്‍ മതി. ക്രമ ബഹുഭുജമായാല്‍ (regular polygon) കാര്യങ്ങള്‍ കുറച്ചുകൂടി എളുപ്പമാകും. എന്നാല്‍ വൃത്തത്തിന്റ പരപ്പളവ് കാണാന്‍ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ പരപ്പളവിന്റെ limit എന്ന രീതിയിലെ കഴിയൂ.

വൃത്തത്തിനുള്ളിലെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം n , ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം s , നിറം നല്‍കിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം h ആയാല്‍ ബഹുഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ്

  ( $\frac{1}{2} sh)$ $n$

 = $\frac{1}{2} h$($sn$)

$sn$ എന്നത് ബഹുഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവാണ്. ഇതിന് $p$ എന്ന് നല്‍കിയാല്‍

ബഹുഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് =$\frac{1}{2} ph$

വശങ്ങളുടെഎണ്ണം കൂടും തോറും എന്തൊക്കെസംഭവിക്കുന്നു ?

• $h$ എന്നത് വൃത്തത്തിന്റെ ആരത്തോട് അടുക്കുന്നു.

• ബഹുഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിലേക്ക് അടുക്കുന്നു.

• ബഹുഭുജത്തിന്റെ പരപ്പളവ് വൃത്തത്തിന്റെ പരപ്പളവിലേക്ക് അടുക്കുന്നു.

അപ്പോള്‍ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്

$h$ → $r$

$p$ → $2πr$ (വൃത്തത്തിന്റ ചുറ്റളവ് )

$\frac{1}{2} ph$ →  $\frac{1}{2}$ 2π$r$.$ r$ = $πr$2

വശങ്ങള്‍ നേര്‍ രേഖകളല്ലാത്ത രൂപങ്ങളുടെ പരപ്പളവ് കാണാന്‍ ഈ രീതിയാണ് പിന്നീടും ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ചതുരങ്ങളുടെ പരപ്പളവുകളുടെ തുക കാണുകയും , ചതുരങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിക്കൂട്ടി , പരപ്പളവുകളുടെ തുകയുടെ limit ആയി , വക്രത്തിനടിയിലുള്ള ഭാഗത്തിന്റെ പരപ്പളവ് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതി പന്ത്രണ്ടാം ക്ലാസ്സില്‍ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നുണ്ടല്ലോ.

ക്ലാസ്സ് 10

ത്രികോ​​​ണമിതി

കേരള ഗണിതം : വൃത്തത്തിലെ ചാപത്തിന്റെ നീളത്തില്‍നിന്ന് അതിന്റെ ഞാണിന്റെ നീളം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു ശ്രേ​ണി കേരളത്തില്‍ പതിനാലാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന മാധവന്‍ എന്ന ഗണിത ശാസ്ത്ര‌ജ്ഞന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ട്. സംസ്കൃത ശ്ലോകമായി അദ്ദേഹമെഴുതിയത് ഇന്നത്തെ ഭാഷയിലെഴുതിയാല്‍ ഇങ്ങനെയാകും

$x$

$x - \dfrac{x^3}{1\times 2 \times 3}$ 

$x - \dfrac{x^3}{1\times 2 \times 3}+\dfrac{x^5}{1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5}$ 

എന്നു തുടങ്ങുന്ന ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകള്‍ $x$ റേഡിയന്‍ അളവുള്ള കോണിന്റെ $sin$ അളവിനോട് അടുത്തടുത്തു വരും. 
ചുരുക്കിയെഴുതിയാല്‍

$sin \;x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} -$...

ക്ലാസ്സ് 10

ഘനരൂപങ്ങള്‍

limit എന്നതിന്റെ സാധ്യതകള്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടാണ് സമചതുര സ്തൂപിക (square pyramid), വൃത്ത സ്തൂപിക (circular cone) , ഗോളം (sphere) ഇവയുടെ വ്യാപ്തവും (volume) ഗോളത്തിന്റെ ഉപരിതല പരപ്പളവും (surface area) കാണാനുള്ള മാര്‍ഗ്ഗങ്ങളിലേക്കെത്തുന്നത്.

ചിത്രത്തില്‍ കാണുന്നതുപോലെ , ഒരേ ഉയരമുള്ള സമചതുര സ്തംഭങ്ങള്‍ (square prisms) അടുക്കിവച്ച് സമചതുര സ്തൂപികയുടെ ആകൃതിയിലുള്ള രൂപം നിര്‍മിക്കാം. സമചതുര സ്തംഭങ്ങളുടെ ഉയരം കുറച്ച് , എണ്ണംകൂട്ടി , ആകൃതികൂടുതല്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യമാക്കാം. സ്തംഭങ്ങളുടെ വ്യാപ്തത്തിലൂടെ സ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തം കണക്കാക്കാം. ഇതേപോലെ, വൃത്തസ്തംഭങ്ങള്‍ അടുക്കിയടുക്കി  വൃത്ത സ്തൂപികയുടെ വ്യാപ്തവും കണക്കാക്കാം.(പാഠപുസ്തകം - അനുബന്ധം പേജ് 114 - 118) 

ക്ലാസ്സ് 10
തൊടുവരകള്‍ (tangents)

ഒരേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകള്‍ തുല്യമാണ് എന്നതില്‍ നിന്ന്, പുതിയ ഒരാശയത്തിലേക്ക് എത്തുന്നത് നോക്കൂ.